Game_Num_Basics_And_Calc

📈 游戏中的曲线艺术 (The Art of Curves in Games)

[!TIP] “God does not build in straight lines.” (上帝不造直线) — Prometheus 在游戏开发中，直线通常代表着机械与僵硬，而曲线则赋予了生命、动感与平衡。

本文档旨在系统性地梳理游戏开发中涉及的各类“曲线”，从微观的动画插值到宏观的数值成长。

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1. 🌊 缓动函数 (Easing Functions) - 赋予运动以质感

最基础的曲线，用于描述一个数值如何从 A 变化到 B。

1.1 📏 线性 (Linear) vs 〰️ 非线性

• Linear (t): 匀速运动。感觉机械、无聊。
• Ease In (t^2): 加速。模拟重力下落，或车辆启动。
• Ease Out (1 - (1-t)^2): 减速。模拟摩擦力停止，最常用的 UI 动画曲线。
• Ease In Out: 先加速后减速。模拟生物的自然运动。

1.2 🧮 常用公式 (Math)

public static class Easing {
    // 1. Sine (正弦) - 柔和
    public static float EaseInSine(float t) => 1 - Mathf.Cos((t * Mathf.PI) / 2);
    public static float EaseOutSine(float t) => Mathf.Sin((t * Mathf.PI) / 2);

    // 2. Power Curves (Quad, Cubic, Quart, Quint) - 力度递增
    public static float EaseInQuad(float t) => t * t;
    public static float EaseOutQuad(float t) => 1 - (1 - t) * (1 - t);
    
    public static float EaseInCubic(float t) => t * t * t;
    public static float EaseOutCubic(float t) => 1 - Mathf.Pow(1 - t, 3);
    
    public static float EaseInQuart(float t) => t * t * t * t;
    public static float EaseOutQuart(float t) => 1 - Mathf.Pow(1 - t, 4);

    public static float EaseInQuint(float t) => t * t * t * t * t;
    public static float EaseOutQuint(float t) => 1 - Mathf.Pow(1 - t, 5);

    // 3. Expo (指数) - 爆发
    public static float EaseInExpo(float t) => t == 0 ? 0 : Mathf.Pow(2, 10 * t - 10);
    public static float EaseOutExpo(float t) => t == 1 ? 1 : 1 - Mathf.Pow(2, -10 * t);

    // 4. Circ (圆形) - 突然
    public static float EaseInCirc(float t) => 1 - Mathf.Sqrt(1 - Mathf.Pow(t, 2));
    public static float EaseOutCirc(float t) => Mathf.Sqrt(1 - Mathf.Pow(t - 1, 2));

    // 5. Back (回弹) - 预备/过冲
    public static float EaseInBack(float t) {
        float c1 = 1.70158f; float c3 = c1 + 1;
        return c3 * t * t * t - c1 * t * t;
    }
    public static float EaseOutBack(float t) {
        float c1 = 1.70158f; float c3 = c1 + 1;
        return 1 + c3 * Mathf.Pow(t - 1, 3) + c1 * Mathf.Pow(t - 1, 2);
    }

    // 6. Elastic (弹簧) - 弹性
    public static float EaseOutElastic(float t) {
        float c4 = (2 * Mathf.PI) / 3;
        return t == 0 ? 0 : t == 1 ? 1 : Mathf.Pow(2, -10 * t) * Mathf.Sin((t * 10 - 0.75f) * c4) + 1;
    }

    // 7. Bounce (弹跳) - 撞击
    public static float EaseOutBounce(float t) {
        float n1 = 7.5625f; float d1 = 2.75f;
        if (t < 1 / d1) return n1 * t * t;
        else if (t < 2 / d1) return n1 * (t -= 1.5f / d1) * t + 0.75f;
        else if (t < 2.5f / d1) return n1 * (t -= 2.25f / d1) * t + 0.9375f;
        else return n1 * (t -= 2.625f / d1) * t + 0.984375f;
    }
}

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1.4 ⚡ 速查表 (Cheat Sheet) - 哪种情况用哪种？

| Easing 类型 | 曲线示意 (Shape) | 感觉描述 (Feel) | 典型应用场景 (Use Case) | | :— | :— | :— | :— | | Sine (正弦) | ` / | **最柔和**。变化非常细微，几乎感觉不到加速/减速的过程。 | 云朵飘动、呼吸灯、背景元素的缓慢移动。 | | **Quad (二次方)** | / | **自然**。有明显的加速或减速感，但不过分。最常用的标准曲线。 | UI 窗口弹出 (Out)、角色起跑 (In)、普通物体的移动。 | | **Cubic (三次方)** | / | **有力**。比 Quad 更强烈的加减速。 | 赛车加速、更有“重量感”的 UI 交互。 | | **Quart (四次方)** | | | **剧烈**。起步非常慢，或者刹车非常急。 | 爆炸碎片飞出 (Out)、火箭发射 (In)。 | | **Quint (五次方)** | | | **极度剧烈**。几乎是瞬间完成大部分位移，只在最后一点点时间里缓慢到位。 | 极其快速的转场、闪现效果。 | | **Expo (指数)** | | | **机械感**。基于 2 的幂。起步极慢，然后突然爆发。 | 科技感的 UI 展开、科幻门开启。 | | **Circ (圆形)** | ╭ ` | 突然。基于半圆。加速极快，给人一种“突然动起来”的感觉。 | 某种机械装置的卡扣、急转弯。 | | Back (回弹) | ` ᵕ/ | **预备动作/过冲**。In: 先向后退一点再冲出去；Out: 冲过头一点再缩回来。 | 强调动作的力度。UI 按钮点击 (Out)、怪物蓄力攻击 (In)。 | | **Elastic (弹簧)** | ↝ ` | 弹性。像橡皮筋一样来回摆动，幅度逐渐减小。 | 绳索挂载的物体、果冻效果、卡通风格的 UI 出现。 | | Bounce (弹跳) | ` /\/` | 撞击。像皮球掉在地上的反弹轨迹。 | 物体落地、菜单板子掉落下来。 |

In vs Out vs InOut:

• 🚀 In: 从 0 加速。适合“进入视野”或“开始运动”。(如：火箭升空)
• 🛑 Out: 减速到 0。适合“停在某处”或“进入待机”。(如：UI 弹窗停在屏幕中间)
• 🔄 InOut: 先加速后减速。适合“从 A 移动到 B”。(如：摄像机运镜)

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2. ✒️ 贝塞尔曲线 (Bezier Curves) - 路径与轨迹

用于定义复杂的路径，如导弹轨迹、赛道形状或 UI 连线。

2.1 原理

贝塞尔曲线本质上是“线性插值的线性插值” (Lerp of Lerps)。

• 二阶 (Quadratic): 需要 3 个点 (起点 P0, 控制点 P1, 终点 P2)。
  • 先在 P0-P1 间 Lerp 出 A，在 P1-P2 间 Lerp 出 B。
  • 再在 A-B 间 Lerp 出最终点。
• 三阶 (Cubic): 需要 4 个点。Unity 的 AnimationCurve 内部就是分段的三阶贝塞尔。

2.2 代码实现

// 二阶贝塞尔
public static Vector3 GetPoint(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, float t) {
    t = Mathf.Clamp01(t);
    float oneMinusT = 1f - t;
    return oneMinusT * oneMinusT * p0 + 
           2f * oneMinusT * t * p1 + 
           t * t * p2;
}

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3. 📊 数值成长曲线 (Gameplay Progression Curves)

用于 RPG 升级、经济膨胀或难度控制。

3.1 🚀 幂函数 (Power Curve)

\(y = Base \times x^p\)

• 应用: 升级所需经验值。
• 特点: 早期平缓，后期陡峭。让玩家前期快速升级获得爽感，后期升级变慢延长游戏寿命。

3.2 🛡️ 对数函数 (Logarithmic Curve)

\(y = C \times \ln(x)\)

• 应用: 护甲减伤公式 (Diminishing Returns)。
  • DamageReduction = Armor / (Armor + Constant)
• 特点: 收益递减。防止玩家堆叠单一属性导致无敌。

3.3 🪜 阶梯函数 (Step Function)

• 应用: 装备解锁、技能质变。
• 特点: 只有达到特定等级，能力才会有跃升。

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4. 🎮 Unity 中的 AnimationCurve

Unity 内置的 AnimationCurve 是极其强大的工具，不仅用于动画，还可用于逻辑配置。

4.1 🎯 技巧：归一化采样

不要在 Curve 里填具体数值 (如 0 到 1000 伤害)。

• 做法: Curve 的 X 和 Y 都保持在 0-1 区间。
• 代码: float damage = maxDamage * curve.Evaluate(currentLevel / maxLevel);
• 优点: 策划调整数值上限时，不需要重画曲线。

4.2 🎲 技巧：作为概率分布

可以用 Curve 来模拟非均匀随机分布。

• X轴: 随机数 (0-1)。
• Y轴: 实际输出值。
• 形状: 如果曲线是“S”型，那么输出值会集中在中间；如果曲线是“U”型，输出值集中在两端。

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5. 🛠️ 塑形函数 (Shaping Functions)

在 Shader 和程序化生成中，我们需要更高级的数学来“重塑”信号。

5.1 🗺️ Remap (重映射)

将一个区间的值映射到另一个区间。

float Remap(float value, float from1, float to1, float from2, float to2) {
    return (value - from1) / (to1 - from1) * (to2 - from2) + from2;
}

5.2 🌫️ SmoothStep

比 Lerp 更平滑的插值，两端斜率为 0。常用于地形混合、纹理边缘处理。 \(y = x^2(3 - 2x)\)

5.3 🏓 PingPong

让数值在 0 和 1 之间往复运动。 Mathf.PingPong(Time.time, 1f)

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6. 📚 扩展阅读

• The Book of Shaders: Shaping Functions - 必读，图形学中的曲线圣经。
• GDC: Math for Game Developers

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